振动与波

阻尼振动方程

\[ \begin{split} &f_阻=-\gamma v=-\gamma \frac{dx}{dt}\\ &m\frac{d^2x}{dt^2}=-\gamma\frac{dx}{dt}-kx\\ &令\beta=\frac{\gamma}{2m}\\ &\frac{dx^2}{dt^2}+2\beta\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=0\\ \end{split} \]

补充:二阶微分方程

\[ \begin{split} &常系数二阶齐次线性方程:对于y^{``}+py^`+qy=0\\ &常系数二阶非齐次线性方程:对于y^{``}+py^`+qy=f(x)\\ &非常系数二阶齐次线性方程:y^{``}+P(x)y^`+Q(x)y=0\\ &非常系数二阶非齐次线性方程:y^{``}+P(x)y^`+Q(x)y=f(x)\\ \end{split} \]

常系数二阶齐次线性方程通解

\[ \begin{split} &对于y^{``}+py^`+qy=0\\ &设方程:r^2+pr+q=0\\ a)&\Delta >0,y=C_1e^{r_1}+C_2e^{r_2}\\ b)&\Delta =0,y=Ce^{x}+Cxe^{x}\\ c)&\Delta <0,r=a\pm bi\\ &y=e^{ax}(C_1\cos(bx)+iC_2\sin(bx) )\\ \end{split} \]

朗斯基行列式

\[ \begin{split} &朗斯基行列式\\ &W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix} &y_1&y_2\\ &y_1^`&y_2^`\\ \end{vmatrix} =y_1y_2^`-y_2y_1^`\\ &\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=f(x)的特解:\\ &y_p(x)=-y_1(x)\int\frac{y_2(x)f(x)}{W(y_1,y_2)}dx+y_2(x)\int\frac{y_1(x)f(x)}{W(y_1,y_2)}dx \end{split} \]

刘维尔公式

\[ \begin{split} &对于方程:\\ &y^{``}+p(x)y^`+q(x)y=0\\ &y_1(x),y_2(x)是该方程的解,则C_1y_1(x)+C_2y_2(x)也是该方程的解\\ \end{split} \]

\[ \begin{align} &令y_2=uy_1:\\ y_2=uy_1&\Leftrightarrow y_2^`=u^`y_1+uy_1^`\\ &\Leftrightarrow y_2^{``}=u^{``}y_1+2u^`y_1^`+uy_1^{``}\\ \end{align} \]

\[ \begin{split} &u^{``}y_1+2u^`y_1^`+uy_1^{``}+p(x)(u^`y_1+uy_1^`)+q(x)uy_1=0\\ &解得:u=\int\frac{1}{y_1^2}\cdot e^{-\int pdx}dx\\ &另一个特解:y_2=y_1\int\frac{1}{y_1^2}e^{-\int pdx}dx(刘维尔公式)\\ \end{split} \]

\[ \begin{split} 那么方程的解:y=C_1y+C_2y_1\int\frac{1}{y_1^2}e^{-\int pdx}dx \end{split} \]

回到阻尼振动方程

阻尼振动方程

\[ \begin{split} &\frac{dx^2}{dt^2}+2\beta\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=0\\ &r^2+2\beta r+\omega_0^2=0\\ &\Delta=4\beta^2-4\omega_0^2\\ &这里我们要求阻尼较小,即\beta<<\omega_0,则\Delta <0\\ &r=-\beta\pm\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\ i\\ &则解为:\\ &x=e^{-\beta t}(C_1\cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t)+C_2i\sin(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t))\\ &可以得到x=A_0e^{-\beta t}\cos (\omega^`t+\phi),\omega^`=\sqrt{\omega_0-\beta^2}\\ \end{split} \]