假设检验

内容

• 参数检验
  • 总体均值,均值差的检验
  • 总体方差,方差比的检验
• 非参数检验
  • 分布拟合检验
  • 秩和检验

第一类错误-\(\alpha\):弃真错误

第二类错误-\(\beta\):取伪错误

只对犯第一类错误的概率加以控制,而不考虑犯第二类错误的概率的检验,称为显著性检验

显著性水平\(\alpha\)=P{犯第一类错误}

通常把有把握,有经验的结论作为原假设,或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误

步骤

1. 建设原假设\(H_0\)与备选假设\(H_1\)
2. 当\(H_0\)为真时,选择一个合适的检验统计量\(V\),他的分布是已知的,由\(H_1\)确定拒绝域的形式
3. 给定显著性水平,对应的拒绝域
   1. 双侧检验\((V<V_{\alpha/2}\cup (V>V_{1-\alpha/2})\)
   2. 右边检验\((V>V_{1-\alpha}\)

单个总体均值的检验

\(\sigma\)已知,关于\(\mu\)的检验(U检验)(又称Z检验)

\(Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\)

U检验法(方差已知)

\(\sigma^2\)未知,关于\(\mu\)的检验(T检验)

\(X\sim N(\mu,\sigma^2),需检验:H_0=\mu=\mu_0,H_1:\mu\neq \mu_0\)

\(T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt n}}\sim t(n-1)\)

T检验法(方差未知)

例题

image-20241129105446429

X = [159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170];
n=length(X);
mu_0=225;
mu=mean(X);
s=std(X);
t=(mu-mu_0)/(s/sqrt(n));
disp(['t=',num2str(t)]);
p=0.95;
z = icdf('T', p, n-1);
if t<z
    disp('没有落在拒绝域内');
else
    disp('落在拒绝域内');
end

\(\sigma\)的双边检验(\(\mu\)未知)

设\(X\sim N(\mu,\sigma^2),\mu未知,需检验:\)

\(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2,H_1:\sigma^2\neq \sigma_0^2\)

\(\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2(n-1)\)

\(P\left\{\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0}\leq\chi_{\alpha/2}^2(n-1)或\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\geq \chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)\right\}=\alpha\)

方差的检验(均值未知)

两个正态总体均值差的检验(t检验)

\(t=\frac{(\overline X-\overline Y)-\delta}{S_\omega\sqrt{\frac 1{n_1}+\frac 1{n_2}}}\)

\(S_\omega^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},S_\omega=\sqrt {S_\omega^2}\)

拒绝域:\(\frac{(\overline X-\overline Y)-\delta}{S_\omega\sqrt{\frac 1{n_1}+\frac 1{n_2}}}\geq t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)\)

P185例2

%% P185 例2
A=[79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02];
B=[80.02 79.94 79.98 79.97 79.97 80.03 79.95 79.97];
n1=length(A);
n2=length(B);
mean1=mean(A);
mean2=mean(B);
s1=std(A);
s2=std(B);
sw=sqrt(((n1-1)*s1^2+(n2-1)*s2^2) / (n1+n2-2));
t=(mean1-mean2)/(sw*sqrt(1/n1+1/n2));
disp(['t=',num2str(t)]);
p=0.95;
z=icdf('T',p,n1+n2-2);
if t > z
    disp('拒绝H0');
else
    disp('接受H0');
end

%% 绘制箱线图(在不同图中)
figure
subplot(2,1,1)
boxplot(A)
subplot(2,1,2)

%% 绘制箱线图(在同一图中)
A=A.';
B=B.';
group = [repmat('A',size(A,1),1);repmat('B', size(B,1),1)];
boxplot([A;B],group)

基于成对数据的检验(t检验)

P186例3

%% P186 例3
% H0:\mu_D=0,\mu_D\neq 0
x=[0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	0.70	0.80	0.90 1.00];
y=[0.10	0.21	0.52	0.32	0.78	0.59	0.68	0.77 0.89];
n=length(x);
d=x-y;
alpha=0.01;
z=icdf('T',1-alpha/2,n-1);
mean_d=mean(d);
s_d=std(d);
t=abs(mean_d/(s_d/sqrt(n)));
if t<z
    disp('无明显差异');
else
    disp('有明显差异');
end

方差比的检验(F检验)

\(F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\)

\(H_1:\sigma_1^2>\sigma_2^2\rightarrow \chi^2\geq \chi_\alpha^2(n-1)\)

\(H_1:\sigma_1^2<\sigma_2^2\rightarrow \chi^2\leq \chi_{1-\alpha}^2(n-1)\)

\(H_1:\sigma_1^2>\sigma_2^2\rightarrow \chi^2\geq \chi_{\alpha/2}^2(n-1)或\chi^2\leq \chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)\)