数学建模-层次分析法

层次分析法

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判断矩阵

将各要素之间相互两两比较,并确定各准则层对目标层的权重

判断矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times n}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\\dots&\dots&\dots&\dots\end{pmatrix}\)

其中A中的元素满足:

1. \(a_{ij}>0\)
2. \(a_{ij}=\frac{1}{a_{ji} }\)
3. \(a_{ii}=1\)

Santy的1-9标度方法

一致矩阵

一致性的判断方法:

1. 正互反矩阵A的秩为1,A的唯一非零特征根为n
2. 正互反矩阵A的任一列向量都是对于特征根n的特征向量
3. 当正互反矩阵A不为一致阵时,其最大特征根\(\lambda_{max}>n\),\(\lambda\)与n相差越大,其不一致程度越大

一致性检验

Consistency Index:\(CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}\\\)

\(CI=\begin{cases}0,完全一致性\\接近0,满意的一致性\\越大,一致性越差\end{cases}\)

随机一致性指标RI,构造500个判断矩阵\(A_1,A_2,...,A_{500}\),分别计算\(\lambda_{max}\),得到其各自的一致性指标\(CI_1,CI_2,...,CI_{500}\)

定义一致性指标RI=\(\Large\frac{CI_1+CI_2+...+CI_{500} }{500}=\frac{\frac{\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_{500} }{500}-n}{n-1}\)

一致性比例\(CR=\frac{CI}{RI}\begin{cases}<0.1,判断矩阵一致\\\geq 0.1, 判断矩阵不一致\end{cases}\)

总结

1. 解决评价类问题
2. 画出层级结构图(目标层,准则层,方案层)
3. 构造判断矩阵
4. 依照评价指标对各个方案进行打分
5. 求出权重,填表,求得最后得分
6. 层次总排序一致性检验

MATLAB代码

%% 层次分析法
%% 获取判断矩阵
disp('请输入判断矩阵A:')
A=input('A=');
[n,n]=size(A)

%% 算数平均法求权重
sum_A = sum(A);
SUM_A = repmat(sum_A, n, 1);
stand_A = A ./ SUM_A;

disp('算数平均法求权重的结果为:');
w1=sum(stand_A,2)./n;
disp(w1)

%% 特征值法求权重
[V,D]=eig(A); % V为特征向量,D为特征值
MAX_eig = max(max(D)); % 最大特征值
[r,c] = find(D == MAX_eig, 1); % 最大特征值所在特征值矩阵中的位置(r为行,c为列)
w2 = V(:,c) ./ sum(V(:,c));
disp(w2)
disp('两种方法的平均值为:')
disp((w1+w2)/2)

%% 计算一致性比例CR
CI=(MAX_eig-n) / (n-1); 
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %常用随机一致性指标
CR=CI/RI(n);
disp('最大特征值为:')
disp(MAX_eig)
disp('一致性指标CI=');disp(CI)
disp('一致性比例CR=');disp(CR)
if CR < 0.10
    disp('CR<0.10,该判断矩阵A的一致性可以接受');
else
    disp('CR>=0.10,该判断矩阵需要进行修改');
end