数学建模-熵权法

熵权法

信息熵

本质:对信息量的期望值

\(H(x)=\sum^n_{i=1}\left[p(x_i)I(x_i)\right]\)

信息的期望值越大,已掌握的信息量越少

正向化处理h

• 极小型转换为极大型:\(\max(x)-x\)
• 越靠近特定值越好的中间型指标转最大型:\(M=\max\{|x_i-x_{best}|\},各令\tilde x_i=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M}\)
• 落在某个区间最好的中间型指标转最大型:\(M=\max\{a-\min\{x_i\},\max\{x_i\}-b\}\),再令\(\tilde x_i=\begin{cases}1-\frac{a-x_i}{M},x_i<a\\1,a\leq x_i\leq b\\1-\frac{x_i-b}{M},x_i>b\end{cases}\)

标准化处理

n个评价对象,m个评价指标(已经正向化处理),构成矩阵:\(X=\begin{vmatrix}x_{11}&x_{12}&\dots&x_{1m}\\x_{21}&x_{22}&\dots&x_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\dots&x_{nm}\end{vmatrix}\)

设标准化后的矩阵为Z,则Z的每一个元素:\(z_{ij}=\frac{x_{ij} }{\sqrt{\sum^n_{i=1}x_{ij}^2} }\)

计算比重矩阵

比重矩阵P的每一个元素\(p_{ij}=\frac{\tilde z_{ij} }{\sum\limits^n_{i=1}\tilde z_{ij} }\),容易验证:\(\sum\limits_{i=1}^np_{ij}=1\)

信息熵\(H(x)=\sum\limits^n_{i=1}\left[p(x_i)I(x_i)\right]=-\sum\limits^n_{i=1}\left[p(x_i)\ln(p(x_i))\right]\)

稍加修改,令信息熵为\(e_j=-\frac{1}{\ln n}\sum\limits^n_{i=1}p_{ij}\ln(p_{ij})\)