多维随机变量及其分布

定义

\(\Omega\)为随机试验的样本空间, \[ \forall \omega\in \Omega\rightarrow \exists(X(\omega),Y(\omega))\in R^2\\ \] (X,Y)为二位随机变量

联合分布函数

\[ F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)\\ \]

边缘分布函数

\[ F_X(x)=P(X\leq x) \]

\[ F_Y(y)=P(Y\leq y)\\ \]

正态分布

\[ f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} },-\infty<x<+\infty\\ \]

边缘密度函数

\[ f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,v)dv \]

\[ F_X(x)=F(x,+\infty)=\int^x_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(u,v)dvdu\\ \]

条件分布函数

\[ \dfrac{\dfrac{\delta F(x,y)}{\delta y} }{\dfrac{d F_Y(y)}{dy} }=\dfrac{\int^x_{-\infty}f(u,y)du}{f_Y(y)}=\int^x_{-\infty}\dfrac{f(u,y)}{f_Y(y)}du \]

随机变量的独立性

设(X,Y)为二维随机变量,若对于任何实数x,y:

\(P(X\leq x,Y\leq y)=p(X\leq x)P(Y\leq y)\)

则X和Y相互独立

\[ P\{X=1\}=\frac{1}{3}\\ P\{Y=0\}=\frac{1}{3}\\ P\{X=1\wedge Y=0\}=\frac{1}{6}\neq P\{X=1\}\times P\{Y=0\} 不独立 \]

推论1

\[ 设f(x,y)是连续型二维随机变量(X,Y)的联合密度函数,r(x),g(y)为非负可积函数\\ 若f(x,y)=r(x)g(y)\\ 则X,Y相互独立,且\\ f_X(x)=\frac{r(x)}{\int^{+\infty}_{-\infty}g(y)dy}\\ f_Y(y)=\frac{g(y)}{\int^{+\infty}_{-\infty}g(y)dy}\\ \]

推论2

\[ \begin{aligned} X,Y为相互独立的随机变量,\\u(x),v(y)为连续函数,\\则U=u(x),V=v(Y)也相互独立,\\设X与Y的概率密度函数分别为f_X(x),f_Y(y),则\\ f(x,y)=f_X(x)f_y(y) \end{aligned} \]

公式

\[ f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\\ \]

\[ \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2} }\exp\{\frac{-1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]\}\\ \]