随机变量及其分布

随机变量

随机试验的样本空间S={e},X=X(e)是在样本空间S上的实值单值函数,则称X=X(e)为随机变量,简记为X

分类

• 离散型
• 连续型

分布函数

\(F(x)=P(X\leq x)\)

性质

1. \(0\leq F(x)\leq 1\)
2. F(x)单调不减
3. F(x)右连续\(F(x+0)=\underset{\Delta x\rightarrow 0+}{lim}F(x+\Delta x)=F(x)\)

0-1分布

服从0-1分布的试验叫作贝努利试验

重复n次:n重伯努利试验

二项分布

n重伯努利试验中,事件A在n次试验中发生的次数-X是一个离散型随机变量

\(P(k)=P(X=k)=C{}^k_np^k(1-p)^{n-k}, k=0,1,...,n\)

性质

• \(C{}^k_np^k(1-p)^{n-k}\geq0\)
• \(\Sigma{}^n_{k=0}C{}^k_np^k(1-p)^{n-k}=[p+(1-p)]^n=1\)
• 0-1分布是n=1的二项分布

二项分布数学期望

\[ \begin{aligned} &X\sim B(n,p)\\ &E(X)=\sum^n_{k=0}kC^k_np^k(1-p)^{n-k}=np\sum^n_{k=1}C^{k-1}_{n-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}=np(p+q)^{n-1}=np\\ \end{aligned} \]

二项分布方差

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泊松定理

\[ \underset{n\rightarrow\infty}{lim}C{}^k_np^k(1-p)^{n-k}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}(\lambda=np) \]

近似公式:\(C{}^k_np^k(1-p)^{n-k}\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}(\lambda=np)\)

定理

\(Y=g(X),则f_Y(y)=\begin{cases}f_X[h(y)]|h'(y)|,\alpha<y<\beta\\0,else\end{cases}\)