气体动理论

理想气体压强公式

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理想气体压强公式定量推导

• 前提条件:N个同类气体分子处于平衡态,封闭在边长为\(l_1,l_2,l_3\)的全反射壁容器内

• 一个分子(质量\(\mu=m_0\),速率\(v_i\))碰壁一次给器壁的冲量\(2\mu v_{ix}\),面光滑\(\rightarrow\)在\(y,z\)方向冲量为0

• 两次碰撞所需时间间隔:\(\dfrac{2l_1}{v_{ix}}\),该分子单位时间内与器壁碰撞的次数\(M=\dfrac{ v_{ix} }{2 l_1}\)

• \[ \begin{aligned} &I=\sum^n_{i=1}2\mu v_{ix} \cdot \dfrac{v_{ix}}{2l_1}=\dfrac{\mu}{l_1}\sum^N_{i=1}v_{ix}^2\\ &\therefore I=\dfrac{\mu N}{l_1}\cdot \dfrac{v_{ix}^2+v_{2x}^2+\cdots+v_{Nx}^2}{N}\\ &\therefore I=\dfrac{\mu N}{l_1}\cdot \overline {v_x^2}=\dfrac{\mu N}{l_1}\cdot \dfrac{\overline {v^2}}{3}\\ \end{aligned} \]

• \(P=\dfrac{F}{A_1}=\dfrac{I}{A_1}=\dfrac{\mu N\overline {v^2}/3l_1}{l_2 l_3}=\dfrac{N\mu\overline{v^2}}{3l_1l_2l_3}= \dfrac{1}{3}\rho\overline {v^2}(\rho=\dfrac{N\mu}{V},V=l_1l_2l_3)\)

• 分子平均平动动能\(\overline{\varepsilon_{平} }=\dfrac{1}{2}\mu \overline {v^2}\),因此\(P=\dfrac{2}{3}n\overline {\varepsilon_{平} }\)(理想气体压强公式)

\[ \begin{aligned} (1)&I=2\mu v=1.2\times 10^{-24}N\cdot s\\ (2)&M=\dfrac{1}{\Delta t}=\dfrac{v}{2l_1}\\ &单位时间内碰A壁的分子数为K=M\times \dfrac{N}{3}=\dfrac{vN}{6l_1}\\ &N=\dfrac{K}{l_2l_3}=\dfrac{vN}{6V}=\dfrac{n}{6}v=3.33\times 10^{27}\\ (3)&P=I\times M=4\times 10^3Pa \end{aligned} \]

分子碰撞

分子模型

无相互作用的刚性球

碰撞频率

一个分子单位时间内所受碰撞的平均次数

\(\overline v=\sqrt{\dfrac{8kT}{\pi\mu}},\overline Z=\sqrt2\pi d^2\overline vn=4d^2n\sqrt{\dfrac{\pi kT}{\mu}}\)

平均自由程

\(\overline \lambda=\dfrac{\overline v}{\overline z}=\dfrac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}=\dfrac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2P}\)

对一定量气体,体积一定时,\(\lambda\)与温度\(T\)无关

温度公式

• 宏观:\(P=nkT\)
• 微观:\(P=\dfrac{2}{3}n\overline \varepsilon_{平}\)

\(\overline \varepsilon_{平}=\dfrac{1}{2}\mu\overline {v^2}=\dfrac{3}{2}kT\)

\(T=\dfrac{2}{3}\dfrac{\overline \varepsilon_{平}}{k}=\dfrac{1}{3}\dfrac{\mu \overline{v^2}}{k}\)

方均根速率\(\sqrt{ \overline{v^2} }=\sqrt{\dfrac{3kT}{\mu}}\)

阿伏伽德罗定律

宏观压强公式:\(P=nkT\Rightarrow P,T同则n同\)

标准状态下,\(n=\dfrac{P}{kT}=\dfrac{1.013\times 10^5}{1.38\times 10^{-23}\times 273.15}=2.688\times 10^{25}m^{-3}\)

\(N_A=n\cdot V_{mol}=6.02\times 10^{23}m^{-3}\)

道尔顿分压定律

混合气体的压强等于组成混合气体的各组成分的分压强之和

能量均分定理

运动自由度

决定物体空间位置所需独立坐标的数目

一般分子总自由度\(i=t+r+s\)

其中:\(t\)-平动自由度,\(r\)-转动自由度,\(s\)-振动自由度(一般可忽略)

• 单原子分子:\(i=t=3\)
• 刚性双原子分子:\(i=t+r=3+2=5\)
• 刚性多原子分子:\(i=t+r=3+3=6\)

能量按自由度的均分定理

\(\overline{\varepsilon_{平} }=\dfrac{3}{2}kT\)

\(\dfrac{1}{2}k\overline{v_x^2}=\dfrac{1}{2}k\overline{v_y^2}=\dfrac{1}{2}k\overline{v_z^2}=\dfrac{1}{2}k(\dfrac{1}{3}\overline{v^2})\)

能量均分定理:在温度为T的热平衡态下,物质分子的每个自由度都具有相同的平均动能\(\dfrac{kT}{2}\)

分子平均总动能\(\overline {\varepsilon_{平} }=\dfrac{1}{2}kT=\dfrac{1}{2}kT(t+r+s)\)

分子平均总能量:\(\overline {\varepsilon_{平} }=\dfrac{1}{2}kT(t+r+2s)\)

• 单原子分子:\(\overline{\varepsilon}=\dfrac{3}{2}kT\)
• 刚性双原子分子:\(\overline{\varepsilon}=\dfrac{5kT}{2}\)
• 刚性多原子分子:\(\overline{\varepsilon}=\dfrac{6kT}{2}\)

理想气体的内能

1. 内能包含分子热运动能量;分子间势能和分子内势能;分子内部,原子内部运动能量;电场能,磁场能
2. 气体内能:\(分子动能,分子间势能和分子内原子间的势能的总和\)
3. 理想气体:理想气体分子间势能=0,理想气体内能=所有分子的平动+转动+振动动能+振动势能(=分子数*每个理气分子平均总能量)

\(E=N\overline \varepsilon=N\cdot \dfrac{i}{2}kT=\nu\cdot \dfrac{i}{2}RT=\dfrac{i}{2}PV(N=\nu\cdot N_A)\)

\[ \begin{aligned} &\overline{\varepsilon_{平(He)} }=\overline{\varepsilon_{平(H_2) }}=\dfrac{3}{2}kT\\ &\overline{\varepsilon_{k(He)} }=\dfrac{3}{2}kT\\ &\overline{\varepsilon_{k(H_2)} }=\dfrac{5}{2}kT\\ &E_{(He)}=\dfrac{m}{M}\cdot \dfrac{3}{2}kT=2\cdot \dfrac{3}{2}kT\\ &E_{(H_2)}=\dfrac{m}{M}\cdot \dfrac{5}{2}kT=2\cdot \dfrac{5}{2}kT\\ \end{aligned} \]

麦克斯韦速率分布律

分布函数

速率分布函数\(f(v)=\lim_{\Delta v\rightarrow 0}\dfrac{\Delta N/N}{\Delta v}=\dfrac{dN}{N\cdot dv }\)

能量分布函数\(f(\varepsilon)=\dfrac{dN}{N\cdot d\varepsilon}\)

速度分布函数\(f({v})=4\pi v^2f(\vec v)\)

麦克斯韦速度分布律

\(f(\vec v)=\left(\dfrac{\mu}{2\pi kT}\right)^{3/2}\cdot e^{-\dfrac{\mu v^2}{2kT}}\)